Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, расположив тело в момент бросания в начало координат, как это изображено на рисунке 1.
В отсутствии сил сопротивления, движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как частный случай криволинейного движения под действием силы тяжести. Применяя 2 - ой закон Ньютона
∑ F i |
||||||||||
получаем |
||||||||||
mg = ma , |
||||||||||
a = g |
||||||||||
Проекции вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ равны: |
||||||||||
= −g |
||||||||||
где g = const - это |
ускорение свободного падения, |
которого всегда |
||||||||
направлен вертикально вниз, |
численное значение g = 9,8м/с2 ; |
= −g |
т.к. ось ОУ на |
|||||||
рисунке 1 направлена вверх, в случае, когда ось OY направлена вниз, то проекция вектора
2 a на ось ОУ будет положительна (читая условия задач, выбирайте сами направление осей, если это не прописано в условии).
Значения проекций вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ дают основание сделать
следующий вывод:
∙ тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно участвует в двух движениях - равномерном по горизонтали и равнопеременном по
вертикали. |
||||||
Скорость тела в таком случае |
||||||
V = Vx + Vy |
||||||
Скорость тела в начальный момент времени (в момент бросания тела) |
||||||
V 0 = V 0 x |
V 0 y . |
|||||
Проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны |
||||||
V cosα |
||||||
V 0 y |
V 0 sin α |
Для равнопеременного движения зависимости скорости и перемещения от времени задаются уравнениями:
V 0 + at |
||||||||||||
S 0 + V 0 t + |
||||||||||||
и S 0 - это скорость и перемещение тела в начальный момент времени, |
||||||||||||
и S t - это скорость и перемещение тела в момент времени t. |
||||||||||||
Проекции векторного уравнения (8) на оси ОХ и ОУ равны |
||||||||||||
V 0 x |
Ax t , |
|||||||||||
V ty = V 0 y + a y t |
Const |
||||||||||||||||
V 0 y - gt |
||||||||||||||||
Проекции векторного уравнения (9) на оси ОХ и ОУ равны |
||||||||||||||||
S ox + V ox t + |
||||||||||||||||
a y t 2 |
||||||||||||||||
S 0 y |
V oy t + |
|||||||||||||||
с учетом равенств (4), получаем |
||||||||||||||||
S 0 y |
V oy t - |
gt 2 |
||||||||||||||
где Sox и Soy - |
координаты тела |
в начальный момент времени, |
а Stx и Sty - |
координаты тела в момент времени t.
За время своего движения t (от момента бросания до момента падения на тот же
уровень) тело поднимается на максимальную высоту hmax , спускается с неё и отлетает от места бросания на расстояние L (дальность полета) - см. рисунок 1.
1) Время движения тела t можно найти, учитывая значения координат тела Sy в
Soy = 0, Sty = 0, |
подставив значения Voy и (14) во второе уравнение системы (13), получаем
2) Дальность полета L можно найти, учитывая значения координат тела Sх в
начальный момент времени и в момент времени t (см. рис.1)
Soх = 0, Stх = L, |
подставив значения Vox и (17) в первое уравнение системы (13), получаем
L = V 0 cosα × t , |
|||||||||||
откуда, с учетом (16), получаем |
|||||||||||
L = V cosα × |
2V sin α |
||||||||||
3) Максимальную высоту подъёма тела h max можно найти, учитывая значение
скорости тела V в точке максимального подъёма тела
V 0 x |
Т.к. в этой точке V y |
|||||||||||||||
Используя вторые уравнения систем (11) и (13) , |
значение Voу , а также тот факт, |
|||||||||||||||
что в точке максимального подъёма тела Sy = hmax , получаем |
||||||||||||||||
0 = V 0 sin α - g × t под |
||||||||||||||||
gt под2 |
||||||||||||||||
V 0 sin α × t - |
||||||||||||||||
h max |
||||||||||||||||
где tпод - время подъёма - время движения на высоту максимального подъёма тела. |
||||||||||||||||
Решая эту систему, получаем |
||||||||||||||||
t под = |
V 0 sin α |
|||||||||||||||
sin 2 α |
||||||||||||||||
Сравнение значений (16) и (22), даёт основание сделать вывод
· время движения на высоту максимального подъёма тела (t под ) равно времени спуска тела (tсп ) с этой высоты и равно половине времени всего движения тела от момента бросания до момента падения на тот же уровень
t под |
T сп |
|||||
Изучать движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, очень наглядно на компьютерной модели
"Свободное падение тел" в сборнике компьютерных моделей "Открытая физика"
компании ФИЗИКОН. В этой модели можно задавать разные начальные условия.
Например, рассмотренный нами случай нужно задавать (команда "Очистить") при начальном условии h = 0 и выбранных V0 и α. Команда "Старт" продемонстрирует движение тела и даст картинку траектории движения и направление векторов скорости тела в фиксированные моменты времени.
Рис.2. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе
"Механика"; тело движется из точки начала координат и падает на том же уровне .
Если условие задачи отличается от рассмотренного нами случая, то необходимо
для решения задачи, выбрав направление осей, разместить тело в начальный момент
времени, изобразить траекторию движения тела до точки падения, таким образом
определив координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Затем
использовать уравнения (3), (5), (8) и (9) как основу для решения и рассмотренный выше
алгоритм решения задачи.
Рассмотрим частные случаи.
6 1. Тело бросили со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к
горизонту, с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. y в начальный
Soy = h, |
а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали.
Рис.3. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе
"Механика"; тело движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .
2. Тело бросили горизонтально со скоростью V 0 , с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. Отличие от рассмотренного нами случая заключается в том, значения координат тела S y в начальный момент определится так же уравнением (25),
а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали. Но в этом случае начальная скорость тела в проекции на ось ОУ равна нулю (так как α = 0), т.е.
проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны
V 0 y |
Рис.4. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе
"Механика"; тело, брошенное горизонтально, движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .
Рассмотрим в качестве примера применения выведенных формул движение тела, брошенного под углом к горизонту в отсутствии сопротивления воздуха. Скажем, на горе, на высоте над уровнем моря стоит пушка, охраняющая прибрежные воды. Пусть снаряд выпускается под углом к горизонту с начальной скоростью из точки , положение которой определяется радиус-вектором (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Дополнение.
Вывод уравнений движения материальной точки в поле силы тяжести
Напишем уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона):
это означает, что тела - материальные точки - любых масс при одних и тех же начальных условиях будут двигаться в однородном поле тяжести одинаково. Спроектируем уравнение (2.7.2) на оси декартовой системы координат. Горизонтальная ось ОХ показана на рис. 13 пунктиром, ось OY проведем через точку О вертикально вверх, а горизонтальную ось OZ , также проходящую через точку О , направим перпендикулярно вектору на нас. Получаем:
Вертикальным направлением, по определению, называется направление вектора , поэтому его проекции на горизонтальные оси OX и OY равны нулю. Во втором уравнении учтено, что вектор направлен вниз, а ось OY - вверх.
Рис. 2.17. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Добавим к уравнениям движения начальные условия, которые определяют положение и скорость тела в начальный момент времени t 0 , пусть t 0 = 0 . Тогда, согласно рис. 2.7.4
Если производная некоторой функции равна нулю, то функция постоянна, соответственно из первого и третьего уравнений (2.7.3) получаем:
Во втором уравнении (2.7.3) производная равна константе, откуда следует, что функция зависит от своего аргумента линейно, то есть
Объединяя (2.7.7) и (2.7.9), получаем окончательные выражения для зависимостей проекций скорости на оси координат от времени:
Третье уравнение (2.7.11) показывает, что траектория тела плоская, целиком лежит в плоскости XOY , это вертикальная плоскость, определяемая векторами и . Очевидно, что последнее утверждение общее: как бы ни были выбраны направления осей координат, траектория тела брошенного под углом к горизонту плоская, она всегда лежит в плоскости, определяемой вектором начальной скорости и вектором ускорения свободного падения .
Если три уравнения (2.7.10) умножить на орты осей , , и и сложить, а потом то же самое проделать с тремя уравнениями (2.7.11), то мы получим зависимости от времени вектора скорости частицы и её радиус вектора. С учетом начальных условий имеем:
Формулы (2.7.12) и (2.7.13) можно было получить сразу, непосредственно из (2.7.2), если учесть, что ускорение свободного падения есть постоянный вектор. Если ускорение - производная от вектора скорости - постоянно, то вектор скорости зависит от времени линейно, а радиус-вектор, производная по времени от которого и есть линейно зависящий от времени вектор скорости, зависит от времени квадратично. Это и записано в соотношениях (2.7.12) и (2.7.13) с константами - постоянными векторами - подобранными соответственно начальным условиям в форме (2.7.4).
Из (2.7.13) в частности видно, что радиус-вектор является суммой трех векторов, складывающихся по обычным правилам, что наглядно показано на рис. 2.18.
Рис. 2.18. Представление радиус-вектора r(t) в произвольный момент времени t в виде суммы трех векторов
Эти векторы представляют собой:
Здесь отчетливо проявляется принцип независимости движений, известный в других областях физики как принцип суперпозиции (наложения). Вообще говоря, согласно принципу суперпозиции результирующий эффект нескольких воздействий представляет собой сумму эффектов от каждого воздействия в отдельности. Он является следствием линейности уравнений движения.
Видео 2.3. Независимость горизонтального и вертикального перемещений при движении в поле тяжести.
Поместим начало отсчета в точку бросания. Теперь =0 , оси, как и ранее, развернем так, чтобы ось 0x была горизонтальной, ось 0у - вертикальной, а начальная скорость лежала в плоскости х0у (рис. 2.19).
Рис. 2.19. Проекции начальной скорости на координатные оси
Спроецируем на оси координат (см.(2.7.11)):
Траектория полета . Если из системы полученных уравнений исключить время t , то получим уравнение траектории:
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.
Дальность полета при стрельбе с высоты h . В момент падения тела (снаряд попадает в цель, находящуюся на поверхности моря). Расстояние по горизонтали от пушки до цели равно при этом . Подставляя ; в уравнение траектории, получаем квадратное уравнение для дальности полета :
У квадратного уравнения имеется два решения (в данном случае - положительное и отрицательное). Нам нужно положительное решение. Стандартное выражение для корня квадратного уравнения нашей задачи может быть приведено к виду:
достигается при , если h = 0 .
Максимальная дальность полета . При выстреле с горы высотой это уже не так. Найдем угол , при котором достигается максимальная дальность полета. Зависимость дальности полета от угла достаточно сложна, и вместо дифференцирования для нахождения максимума мы поступим следующим образом. Представим себе, что мы увеличиваем начальный угол . Сначала дальность полета растет (см. формулу (2.7.15)), достигает максимального значения и снова начинает падать (до нуля при выстреле вертикально вверх). Таким образом, для каждой дальности полета, кроме максимальной, соответсвует два направления начальной скорости.
Обратимся снова к квадратному уравнению относительности дальности полета и рассмотрим его как уравнение для угла . Учитывая, что
перепишем его в виде:
Мы снова получили квадратное уравнение, на этот раз - для неизвестной величины . Уравнение имеет два корня, что соответствует двум углам, при которых дальность полета равна . Но когда , оба корня должны совпасть. Это означает, что равен нулю дискриминант квадратного уравнения:
откуда следует результат
При этот результат воспроизводит формулу (2.7.16)
Обычно высота много меньше дальности полета на равнине. При квадратный корень может быть аппроксимирован первыми членами разложения в ряд Тейлора и мы получаем приближенное выражение
то есть дальность выстрела увеличивается примерно на высоту подъема пушки.
Когда l = l max , и a = a max , как уже отмечалось, дискриминант квадратного уравнения равен нулю, соответственно, его решение имеет вид:
Поскольку тангенс меньше единицы, угол, при котором достигается максимальная дальность полета, меньше .
Максимальная высота подъёма над начальной точкой. Эта величина может быть определена из равенства нулю вертикальной составляющей скорости в верхней точке траектории
При этом горизонтальная составляющая скорости не равна нулю, поэтому
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.
Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:
(1)
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?
$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$
Закон движения тела имеет вид:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$
Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,
\ \ \
С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:
Закон движения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \
Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$:
Ниже размещены условия задач и отсканированные решения. Если вам нужно решить задачу на эту тему, вы можете найти здесь похожее условие и решить свою по аналогии. Загрузка страницы может занять некоторое время в связи с большим количеством рисунков. Если Вам понадобится решение задач или онлайн помощь по физике- обращайтесь, будем рады помочь.
Принцип решения этих задач заключается в разложении скорости свободно падающего тела на две составляющие - горизонтальную и вертикальную. Горизонтальная составляющая скорости постоянна, вертикальное движение происходит с ускорением свободного падения g=9.8 м/с 2 . Также может применяться закон сохранения механической энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энерги тела в данном случае постоянна.
Материальная точка брошена под углом к горизонту с начальной скоростью 15 м/с. Начальная кинетическая энергия в 3 раза больше кинетической энергии точки в верхней точке траектории. На какую высоту поднималась точка?
Тело брошено под углом 40 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние, которое пролетит тело до падения, высоту подъема в верхней точке траектории и время в полете.
Тело брошено с башни высотой H вниз, под углом α к горизонту, с начальной скоростью v. Найти расстояние от башни до места падения тела.
Тело массой 0,5 кг брошено с поверхност Земли под углом 30 градусов к горизонту, с начальной скоростью 10 м/с. Найти потенциальную и кинетическую энергии тела через 0,4 с.
Материальная точка брошена вверх с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Определить скорость точки на высоте 3 м.
Тело брошено вверх с поверхности Земли под углом 60 градусов с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние до точки падения, скорость тела в точке падения и время в полете.
Тело брошено вверх под углом к горизонту с начальной скоростю 20 м/с. Расстояние до точки падения в 4 раза больше максимальной высоты подъема. Найти угол, под которым брошено тело.
Тело брошено с высоты 5 м под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 22 м/с. Найти дальность полета тела и время полета тела.
Тело брошено с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью 30 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1с после броска.
Тело брошено с поверхности Зесли под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 14,7 м/с. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела через 1,25с после броска.
Тело брошено под углом 60 градусов к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время угол между скоростью и горизонтом станет равным 45 градусов?
Мяч, брошенный в спортзале под углом к горизонту, с начальной скоростью 20 м/с, в верхней точке траектории коснулся потолка на высоте 8м и упал на некотором расстоянии от места броска. Найти это расстояние и угол, под которым брошено тело.
Тело, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало через 2,2с. Найти максимальную высоту подъема тела.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту. На некоторой высоте камень побывал дважды - через время 1с и 3 с после броска. Найти эту высоту и начальную скорость камня.
Камень брошен под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Найти расстояние от точки бросания до камня через 4 с.
Снаряд выпущен в момент, когда самолет пролетает над орудием, под углом к горизонту с начальной скоростью 500 м/с. Снаряд поразил самолет на высоте 3,5 км через 10с после выстрела. Какова скорость самолета?
Ядро массой 5 кг брошено с поверхности Земли под углом 60 градусов к горизонту. На разгон гири потрачена энергия 500Дж. Определить дальность полета и время в полете.
Тело брошено с высоты 100м вниз под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Найти дальность полета тела.
Тело массой 200г, брошеное с поверхности Земли под углом к горизонту, упало на расстоянии 5м через время 1,2с. Найти работу по броску тела.
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила -- сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения; проекции ускорения на координатные оси ах = 0, ау = - g.
Рисунок 1. Кинематические характеристики тела, брошенного под углом к горизонту
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где $v_0$ - начальная скорость, ${\mathbf \alpha }$ - угол бросания.
При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тогда получим:
(1)
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета - это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный $t_0$. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания $\alpha $ и его функции -- здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Тело брошено со скоростью v0 под углом ${\mathbf \alpha }$ к горизонту. Время полета $t = 2 с$. На какую высоту Hmax поднимется тело?
$$t_В = 2 с$$ $$H_max - ?$$
Закон движения тела имеет вид:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_{0x}t \\ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.$$
Вектор начальной скорости образует с осью ОХ угол ${\mathbf \alpha }$. Следовательно,
\ \ \
С вершины горы бросают под углом = 30${}^\circ$ к горизонту камень с начальной скоростью $v_0 = 6 м/с$. Угол наклонной плоскости = 30${}^\circ$. На каком расстоянии от точки бросания упадет камень?
$$ \alpha =30{}^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$
Поместим начало координат в точку бросания, ОХ -- вдоль наклонной плоскости вниз, OY -- перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Кинематические характеристики движения:
Закон движения:
$$\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{cos 2\alpha +g\frac{t^2}{2}{sin \alpha \ }\ } \\ y=v_0t{sin 2\alpha \ }-\frac{gt^2}{2}{cos \alpha \ } \end{array} \right.$$ \
Подставив полученное значение $t_В$, найдём $S$: