Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
История появления отрицательных чисел Работа Муравлева Эльдара, ученика 6 класса РЦДО Руководитель Ходина Надежда Васильевна 2015 год
2
слайд
Описание слайда:
Зачатки счета теряются в глубине веков, когда ещё не было письменности. Математические знания в далёком прошлом применялись для решения повседневных задач. Не всегда результат измерения или стоимости товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, и доли меры. История возникновения отрицательных чисел очень давняя и долгая. Они появились намного позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Решение уравнений и понятие «долга» при торговых расчетах привело к появлению отрицательных чисел. Первые представления об отрицательных числах возникли еще до нашей эры, но люди долгое время не признавали их существования.
3
слайд
Описание слайда:
Все началось в Китае во II в. до н. э. У китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в черный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Китайцы размещали палочки на разграфленной доске так, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Решали уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, оно принималось. Если решение состояло из черных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось.
4
слайд
Описание слайда:
Китайский ученый Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» приводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, недостачу, а положительные как имущество. Положительные числа записывали тогда красным цветом, а отрицательные черным, но старались их применение свести к минимуму. Наверно, поэтому человек воспринимает положительное – как «нечто хорошее», а отрицательное – как «нечто плохое».
5
слайд
Описание слайда:
С ними производили вычисления и даже использовали в торговых расчетах. Пример Вы имеете 4000 рублей и покупаете товар на 6000 рублей. Результатом вычитания 4000 – 6000 является число 2000 со знаком «минус». Это отрицательное число указывает на то, что у вас образовался долг 2000 рублей. А в Индии они использовались очень широко
6
слайд
Описание слайда:
Брахмагупта, астроном VII века, установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Он также ввел число нуль в его современном понимании. Он описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время. «Долг минус нуль ― это долг. Имущество минус нуль ― это имущество. Нуль минус нуль ― это нуль. Долг, вычтенный из нуля, ― это имущество. Имущество, вычтенное из нуля, ― это долг.»
7
слайд
Описание слайда:
В Европе отрицательные числа не признавали очень долго, их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля ― пустоты.
8
слайд
Описание слайда:
Ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет. Исключение составлял Диофант, который в III веке н.э. рассматривал отрицательные числа как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые» и уже умел умножать их и знал правило знаков.
9
слайд
Описание слайда:
В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться только с XIII в. Их описал Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в 1202 году в своем произведении «Книга Абака». При этом они обозначались словами или сокращенными словами как наименования в именованных числах.
10
слайд
Описание слайда:
В 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними. «Нуль находится между абсурдными и истинными числами».
11
слайд
Описание слайда:
Числовая ось В 1685 году английский математик Джон Уоллис в своём труде «Трактат по алгебре» впервые представил числовую ось, на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от нуля в противоположных направлениях. Он показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». «...если человек отойдет от ноля вперед на пять ярдов, а затем вернется назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто. А значит, -3 ― это та же точка на линии, что и +3, но не вперед, как должно быть, а назад».
12
слайд
Описание слайда:
Рене Декарт тоже в XVII веке предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля. С этого времени отрицательные числа стали использовать, хотя еще долго многие ученые отрицали их.
13
слайд
Описание слайда:
Гаусс, Уильман Гамильтон и Герман Грассман В 1831 году Гаусс назвал отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать, не считал чем -то страшным (с дробями, например, тоже не все действия можно делать). С этого времени отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.
14
слайд
Описание слайда:
Понадобилось несколько лет, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь цифровая ось ― самая успешная разъяснительная схема всех времен. Теперь мы видим отрицательные числа на числовой оси, и у нас нет трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое. Сейчас уже никто не сомневается в их реальности. Мы принимаем отрицательные числа с числовой осью, а затем узнаем поразительную новость: Минус, умноженный на минус, дает плюс. Вот это да! Современное понимание отрицательных чисел
15
слайд
Описание слайда:
Числовая ось Тока O разбивает прямую на два луча. Выберем единичный отрезок и примем точку O за начало отсчета. Тогда положение точки на каждом из лучей задается ее координатой. Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах, условились ставит перед координатами на одном луче знак +, а перед координатами на другом луче знак －. Числа со знаком + называют положительными. Пишут: +1, +5, +3,6. Числа со знаком " - " называют отрицательными. Пишут: -1, -5, -3,6. Для краткости записи обычно опускают знак + перед положительными числами и вместо +7 пишут 7.
16
слайд
Описание слайда:
Координаты Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки. Начало отсчета (начало координат) - точка O изображает 0 (нуль). Само число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных. Например, точка (3) расположена на расстоянии 3 правее точки О, а точка (-3) расположена на расстоянии 3 левее точки О.
17
слайд
Описание слайда:
Применение отрицательных чисел Например, при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять: 20 градусов тепла (выше нуля) или холода (ниже нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяются шкалы с отрицательными числами. Больше всего отрицательные числа встречаются в точных науках, в математике и физике. У них множество разных областей применения, кроме подсчета долгов, от графиков до термометров.
ЧИСЛО, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4. Задачи измерения длин, площадей и т. п. , а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв.
Впервые отрицательные числа встречаются в одной из книг древнекитайского трактата « Математика в девяти главах » (Джан Цань – 1 век до нашей эры). Отрицательное число понималось как долг, а положительное – как имущество. Сложение и вычитание отрицательных чисел производилось на основе рассуждений о долге. Например, правило сложения формулировалось так: « Если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество ». Знака минус тогда не было, а чтобы отличать положительные и отрицательные числа, Джан Цань писал их разными по цвету чернилами.
Идея отрицательных чисел с трудом завоевывала себе место в математике. Эти числа казались математикам древности непонятными и даже ложными, действия с ними – неясными и не имеющими реального смысла.
Использование отрицательных чисел индийскими математиками.
В 6 – 7 веках нашей эры индийские математики уже систематически пользовались отрицательными числами, по-прежнему понимая их как долг. Начиная с 7 века индийские математики пользовались отрицательными числами. Положительные числа они называли « дхана » или « сва » (« имущество »), а отрицательные – « рина » или « кшайя » («долг »). Впервые все четыре арифметических действия с отрицательными числами приведены индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598 – 660 гг.).
Например, правило деления он формулировал так:« Положительное, делённое на положительное, или отрицательное, делённое на отрицательное, становится положительным. Но положительное, делённое на отрицательное, и отрицательное, делённое на положительное, остаётся отрицательным ».
(Брахмагупта (598 – 660 гг.) – индийский математик и астроном. До нас дошло сочинение Брахмагупта « Пересмотр системы Брахмы » (628), значительная часть, которого посвящена арифметике и алгебре. Важнейшим здесь является учение об арифметической прогрессии и решение квадратных уравнений, с которыми Брахмагупта справлялся во всех случаях, когда они имели действительные решения. Брахмагупта допускал и рассматривал употребление нуля во всех арифметических действиях. Кроме того Брахмагупта решал некоторые неопределённые уравнения в целых числах; он дал правило составления прямоугольных треугольников с рациональными сторонами и др. Брахмагупту было известно обратное тройное правило, у него встречается приближение П,самая ранняя интерполяционная формула 2 – го порядка. Его интерполяционное правило для синуса и обратного синуса при равных интервалах являются частным случаем интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга. В более поздней работе Брахмагупта приводит интерполяционное правило при неравных промежутках. Его работы были в 8 веке переведены на арабский язык.)
Понимание отрицательных чисел Леонардом Фибоначчи Пизанским.
Независимо от индийцев к пониманию отрицательных чисел как противоположности положительных пришёл итальянский математик Леонардо Фибоначчи Пизанский (13 в.). Но понадобилось ещё около 400 лет, прежде чем « абсурдные » (бессмысленные) отрицательные числа получили полное признание математиков, а отрицательные решения в задачах перестали отбрасываться как невозможные.
(Леонардо Фибоначчи Пизанский (ок. 1170 – после 1228) – итальянский математик. Родился в Пизе (Италия). Начальное образование получил в Буше (Алжир) под руководством местного учителя. Тут он овладел арифметикой и алгеброй арабов. Посетил многие страны Европы и Востока и всюду пополнял свои знания по математике.
Издал две книги: « Книгу об абаке » (1202), где абак рассматривался не столько как прибор, сколько, как исчисление вообще, и « Практическую геометрию » (1220). По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления. Изложение материала в ней было оригинальным и изящным. Учёному принадлежат и собственные открытия, в частности он положил начало разработке вопросов, связанных с Т. Н. числами Фибоначчи, и дал оригинальный приём извлечения кубического корня. Его труды получили распространение только в конце 15 века, когда Лука Пачоли переработал их и опубликовал в своей книге « Сумма » .
Рассмотрение отрицательных чисел Михаилом Штифелем по - новому.
В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. (Штифель Михаил (19. 04. 1487 – 19. 06. 1567) – знаменитый немецкий математик. Михаил Штифель учился в католическом монастыре, затем увлёкся идеями Лютера и стал сельским протестантским пастором. Изучая библию, старался найти в ней математическое истолкование. В результате своих изысканий предсказал конец мира на 19 октября 1533 года, который, конечно, не произошёл, а Михаил Штифель был заключён в Вюртембергскую тюрьму, из которой его вызволил сам Лютер.
После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Н. Шюке начал оперировать отрицательными числами; ввёл дробный и нулевой показатели степени, а также термин « показатель » ; в работе « Полная арифметика » (1544) дал правило деления на дробь как умножения на дробь, обратную делителю; сделал первый шаг в развитии приёмов, упрощающих вычисления с большими числами, для чего сопоставлял две прогрессии: геометрическую и арифметическую. Позднее это помогло И. Бюрги и Дж. Неперу создать логарифмические таблицы и разработать логарифмические вычисления.)
Современное истолкование отрицательных чисел Жираром и Рене Декартом.
Современное истолкование отрицательных чисел, основанное на откладывании единичных отрезков на числовой оси влево от нуля, было дано в 17 веке, в основном в работах голландского математика Жирара (1595 – 1634 гг.) и знаменитого французского математика и философа Рене Декарта (1596–1650гг.) (Жирар Альберт (1595 – 1632) – бельгийский математик. Жирар родился во Франции, но бежал в Голландию от преследований католической церкви, так как был протестантом. Альберт Жирар внёс большой вклад в развитие алгебры. Основным его сочинением была книга « Новое открытие в алгебре». Впервые высказал основную теорему алгебры о наличии корня у алгебраического уравнения с одним неизвестным. Хотя строгое доказательство впервые дал Гаусс. Жирару принадлежит вывод формулы площади сферического треугольника.) С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения. Высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы. Автор теории, объясняющей образование и движение небесных тел вихревым движением частиц материи (вихри Декарта). Ввел представление о рефлексе (дуга Декарта). В основе философии Декарта - дуализм души и тела, «мыслящей» и «протяженной» субстанции. Материю отождествлял с протяжением (или пространством), движение сводил к перемещению тел. Общая причина движения, по Декарту, - Бог, который сотворил материю, движение и покой. Человек - связь безжизненного телесного механизма с душой, обладающей мышлением и волей. Безусловное основоположение всего знания, по Декарту, - непосредственная достоверность сознания («мыслю, следовательно, существую»). Существование Бога рассматривал как источник объективной значимости человеческого мышления. В учении о познании Декарт - родоначальник рационализма и сторонник учения о врожденных идеях. Основные сочинения: «Геометрия» (1637), «Рассуждение о методе. » (1637), «Начала философии» (1644).
ДЕКАРТ (Descartes) Рене (латинизированное - Картезий; Cartesius) (31 марта 1596, Лаэ, Турень, Франция - 11 февраля 1650, Стокгольм), французский философ, математик, физик и физиолог, основатель новоевропейского рационализма и один из влиятельнейших метафизиков Нового времени.
Жизнь и сочинения
Родившись в дворянской семье, Декарт получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, напр. , разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.
После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.
1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта. Именно в это время, как он сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.
В 1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.
В 1628 Декарт более чем на 15 лет обосновывается в Нидерландах, но не поселяется в каком-то одном месте, а около двух десятков раз меняет место жительства.
В 1633, узнав об осуждении церковью Галилея, Декарт отказывается от публикации натурфилософской работы «Мир», в которой излагались идеи естественного возникновения вселенной по механическим законам материи.
В 1637 на французском языке выходит работа Декарта «Рассуждение о методе», с которой, как многие считают, и началась новоевропейская философия.
В 1641 появляется главное философское сочинение Декарта «Размышления о первой философии» (на латинском языке), а в 1644 «Первоначала философии», работа, замышлявшаяся Декартом как компендий, суммирующий наиболее важные метафизические и натурфилософские теории автора.
Большое влияние на европейскую мысль оказала и последняя философская работа Декарта «Страсти души», опубликованная в 1649 г. В том же году по приглашению шведской королевы Кристины Декарт отправился в Швецию. Суровый климат и непривычный режим (королева заставляла Декарта вставать в 5 утра, чтобы давать ей уроки и выполнять другие поручения) подорвали здоровье Декарта, и, подхватив простуду, он умер от пневмонии.
Философия Декарта ярко иллюстрирует стремление европейской культуры к освобождению от старых догм и построению новой науки и самой жизни «с чистого листа». Критерием истины, считает Декарт, может быть только «естественный свет» нашего разума. Декарт не отрицает и познавательной ценности опыта, но он видит его функцию исключительно в том, чтобы он приходил на помощь разуму там, где собственных сил последнего недостаточно для познания. Размышляя над условиями достижения достоверного знания, Декарт формулирует «правила метода», с помощью которого можно прийти к истине. Первоначально мыслившиеся Декартом весьма многочисленными, в «Рассуждении о методе», они сводятся им к четырем основным положениям, составляющим «квинтэссенцию» европейского рационализма: 1) начинать с несомненного и самоочевидного, т. е. с того, противоположное чему нельзя помыслить, 2) разделять любую проблему на столько частей, сколько необходимо для ее эффективного решения, 3) начинать с простого и постепенно продвигаться к сложному, 4) постоянно перепроверять правильность умозаключений. Самоочевидное схватывается разумом в интеллектуальной интуиции, которую нельзя смешивать с чувственным наблюдением и которая дает нам «ясное и отчетливое» постижение истины. Разделение проблемы на части позволяет выявить в ней «абсолютные», т. е. самоочевидные элементы, от которых можно отталкиваться в последующих дедукциях. Дедукцией Декарт называет «движение мысли», в котором происходит сцепление интуитивных истин. Слабость человеческого интеллекта требует проверять корректность сделанных шагов на предмет отсутствия пробелов в рассуждениях. Такую проверку Декарт называет «энумерацией» или «индукцией». Итогом последовательной и разветвленной дедукции должно стать построение системы всеобщего знания, «универсальной науки». Декарт сравнивает эту науку с деревом. Корнем его является метафизика, ствол составляет физика, а плодоносные ветви образуют конкретные науки, этика, медицина и механика, приносящие непосредственную пользу. Из этой схемы видно, что залогом эффективности всех этих наук является правильная метафизика.
От метода открытия истин Декарт отличает метод изложения уже разработанного материала. Его можно излагать «аналитически» и «синтетически». Аналитический метод проблемен, он менее систематичен, но больше способствует пониманию. Синтетический, как бы «геометризирующий» материал, более строг. Декарт все же отдает предпочтение аналитическому методу.
Сомнение и несомненное
Исходной проблемой метафизики как науки о самых общих родах сущего является, как и в любых других дисциплинах, вопрос о самоочевидных основаниях. Метафизика должна начинаться с несомненной констатации какого-либо существования. Декарт «пробует» на самоочевидность тезисы о бытии мира, Бога и нашего «Я». Мир можно представить несуществующим, если вообразить, что наша жизнь есть долгое сновидение. В бытии Бога тоже можно усомниться. А вот наше «Я», считает Декарт, нельзя подвергнуть сомнению, так как само сомнение в своем бытии доказывает существование сомнения, а значит и сомневающегося Я. «Сомневаюсь, следовательно существую» - так Декарт формулирует эту важнейшую истину, обозначающую субъективистский поворот европейской философии Нового времени. В более общем виде этот тезис звучит так: «мыслю, следовательно существую» - cogito, ergo sum. Сомнение составляет лишь один из «модусов мышления», наряду с желанием, рассудочным постижением, воображением, памятью и даже ощущением. Основой мышления является сознание. Поэтому Декарт отрицает существование бессознательных идей. Мышление является неотъемлемым свойством души. Душа не может не мыслить, она - «мыслящая вещь», res cogitans. Признание несомненным тезиса о собственном существовании не означает, однако, что Декарт считает вообще невозможным несуществование души: она не может не существовать, лишь пока мыслит. В остальном же душа - случайная вещь, т. е. может как быть, так и не быть, ибо она несовершенна. Все случайные вещи черпают свое бытие извне. Декарт утверждает, что душа ежесекундно поддерживается в своем существовании Богом. Тем не менее ее можно назвать субстанцией, так как она может существовать отдельно от тела. Впрочем, на деле душа и тело тесно взаимодействуют. Однако принципиальная независимость души от тела является для Декарта залогом вероятного бессмертия души.
Учение о Боге
От философской психологии Декарт переходит к учению о Боге. Он дает несколько доказательств существования высшего существа. Наиболее известным является так называемый «онтологический аргумент»: Бог есть всесовершенное существо, поэтому в понятии о нем не может отсутствовать предикат внешнего существования, что означает невозможность отрицать бытие Бога, не впадая в противоречие. Другое доказательство, предлагаемое Декартом, более оригинально (первое было хорошо известно в средневековой философии): в нашем уме есть идея Бога, у этой идеи должна быть причина, но причиной может быть только сам Бог, так как в противном случае идея высшей реальности была бы порождена тем, что этой реальностью не обладает, т. е. в действии было бы больше реальности, чем в причине, что нелепо. Третий аргумент основан на необходимости существования Бога для поддержания человеческого существования. Декарт полагал, что Бог, не будучи сам по себе связан законами человеческой истины, является тем не менее источником «врожденного знания» человека, в которое входит сама идея Бога, а также логические и математические аксиомы. От Бога, считает Декарт, исходит и наша вера в существование внешнего материального мира. Бог не может быть обманщиком, а поэтому эта вера истинна, и материальный мир действительно существует.
Философия природы
Убедившись в существовании материального мира, Декарт приступает к исследованию его свойств. Главным свойством материальных вещей оказывается протяжение, которое может выступать в различных модификациях. Декарт отрицает существование пустого пространства на том основании, что везде, где есть протяжение, имеется и «протяженная вещь», res extensa. Другие качества материи мыслятся смутно и, возможно, считает Декарт, существуют только в восприятии, а в самих предметах отсутствуют. Материя состоит из элементов огня, воздуха и земли, все различие которых состоит только в величине. Элементы не являются неделимыми и могут превращаться друг в друга. Пытаясь согласовать концепцию дискретности материи с тезисом об отсутствии пустоты, Декарт выдвигает любопытнейший тезис о нестабильности и отсутствии определенной формы у мельчайших частиц вещества. Единственным способом передачи взаимодействий между элементами и состоящими из их смешения вещами Декарт признает соударение. Оно происходит по законам постоянства, вытекающим из неизменной сущности Бога. При отсутствии внешних воздействий вещи не меняют свое состояние и двигаются по прямой, являющейся символом постоянства. Кроме того, Декарт говорит о сохранении исходного количества движения в мире. Само движение, однако, изначально не свойственно материи, а привносится в нее Богом. Но уже одного первотолчка достаточно, чтобы из хаоса материи постепенно самостоятельно собрался правильный и гармоничный космос.
Тело и душа
Много времени Декарт уделял изучению законов функционирования животных организмов. Он считал их тонкими машинами, способными самостоятельно адаптироваться к окружающей среде и адекватно реагировать на внешние воздействия. Испытанное воздействие передается в мозг, являющийся резервуаром «животных духов», мельчайших частиц, попадание которых в мышцы через поры, открывающиеся вследствие отклонений мозговой «шишковидной железы» (являющейся седалищем души), приводит к сокращениям этих мышц. Движение тела составляется последовательностью таких сокращений. Животные лишены душ и не нуждаются в них. Декарт говорил, что его больше удивляет наличие души у человека, чем ее отсутствие у животных. Наличие души у человека, однако, не бесполезно, так как душа может корректировать естественные реакции тела.
Декарт-физиолог
Декарт изучал строение различных органов у животных, исследовал строение зародышей на различных стадиях развития. Его учение о «произвольных» и «непроизвольных» движениях заложило основы современного учения о рефлексах. В работах Декарта представлены схемы рефлекторных реакций с центростремительной и центробежной частью рефлекторной дуги.
Значение работ Декарта в математике и физике
Естественно-научные достижения Декарта родились как «побочный продукт» разрабатываемого им единыго метода единой науки. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z.), коэффициентов (a, b, c.), обозначение степеней (a2, x-1.).
Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода. Он указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).
Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с П. Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя. В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. Переменная трактуется им двояко: как отрезок переменной длины и постоянного направления (текущая координата точки, описывающей своим движением кривую) и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (позднее названные Лейбницем алгебраическими) - линии, описываемые при движении шарнирными механизмами. Трансцендентные кривые (сам Декарт называет их «механическими») он исключил из своей геометрии. В связи с исследованиями линз (см. ниже) в «Геометрии» излагаются способы построения нормалей и касательных к плоским кривым.
«Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. Действительные числа Декарт фактически трактовал как отношение любого отрезка к единичному (хотя саму формулировку дал позднее И. Ньютон). В переписке Декарта содержатся и другие его открытия.
В оптике он открыл закон преломления световых лучей на границе двух различных сред (изложены в «Диоптрике», 1637). Декарт внес серьезный вклад в физику, дав четкую формулировку закона инерции.
Влияние Декарта
Декарт оказал громадное влияние на последующую науку и философию. Европейские мыслители восприняли от него призывы к созданию философии как точной науки (Б. Спиноза), к построению метафизики на базе учения о душе (Дж. Локк, Д. Юм). Декарт активизировал и теологические споры в вопросе о возможности доказательств бытия Бога. Огромный резонанс имело обсуждение Декартом вопроса о взаимодействии души и тела, на которое откликнулись Н. Мальбранш, Г. Лейбниц и др. , а также его космогонические построения. Многие мыслители делали попытки формализовать методологию Декарта (А. Арно, Н. Николь, Б. Паскаль). В 20 веке к философии Декарта часто обращаются участники многочисленных дискуссий по проблемам философии сознания и когнитивной психологии.
Для того чтобы разработать этот понятный и естественный сейчас для нас подход, понадобились усилия многих учёных на протяжении восемнадцати веков от Джан Цаня до Декарта.
Введение________________________________ стр. 3
Основная часть
Что такое «число»?________________________ стр.3
Отрицательные числа в Египте________________ стр.5
Отрицательные числа в Древней Азии___________ стр. 5
Отрицательные числа в Европе_________________ стр. 6
Современное истолкование отрицательных чисел__ стр.7
Заключение__________________________________ стр.8
Cписок литературы____________________________ стр. 9
Мир чисел очень загадочен и интересен. Числа очень важны в нашем мире. Я хочу узнать как можно больше о происхождении чисел, об их значении в нашей жизни. Как их применять и какую роль они играют в нашей жизни?
В этом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У меня возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии я прочитала, что отрицательное число - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.
В итоге я решила исследовать историю возникновения отрицательных чисел.
Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных чисел.
Объект исследования - отрицательные числа
Определение понятия числа
В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.
Существует большое количество определений понятию «число».
Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.). Еще раньше Евклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей».
Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.
Натуральные числа возникли при счете предметов. Об этом я узнала в 5 классе. Затем я узнала, что потребность человека измерять величины не всегда выражается целым числом. После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Появились дробные числа. Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Интересным для меня оказался тот факт, что долгое время многие математики не признавали отрицательных чисел, считая, что им не соответствуют какие-либо реальные явления.
Отрицательные числа в Египте
Однако, не смотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания, потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а только в виде разностей положительных; и в качестве ответов в задачах он рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»).
(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).
Отрицательные числа в Древней Азии
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.
Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».
Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».
Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.
Отрицательные числа в Европе
Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование «имущество-долг» вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, как можно «складывать» или «вычитать» имущества и долги, какой реальный смысл может иметь «умножение» или «деление» имущества на долг? (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)
Вот почему с большим трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Фибоначчи Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре «Наука о числах в трёх частях». Символика Шюке приближается к современной (Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988)
Современное истолкование отрицательных чисел
В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…» (Г.И. Глейзер, История математики в школе IV-VI классы. Москва, Просвещение, 1981)
После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Николы Шюке начал оперировать отрицательными числами.
Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию.
Почти одновременно со Штифелем защищал идею отрицательных чисел Р. Бомбелли Раффаэле (около 1530-1572), итальянский математик и инженер, переоткрывший сочинение Диофанта.
Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками « + » и « - » применил немецкий математик Видман.
Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что Штифель и некоторые другие мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Развитое затем математиком А. Жираром представление об отрицательных числах как о точках на некоторой прямой, располагающихся по другую сторону от нуля, чем положительные, оказалось решающим в обеспечении этим числам прав гражданства, особенно в результате развития метода координат у П. Ферма и Р. Декарта.
Вывод
В своем работе я исследовала историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделала вывод:
Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.
При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:
а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;
б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.
К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.
Все эти множества чисел я постараюсь изучить.
Список литературы
Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.
М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика
Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.
История математики в школе, IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.
Википедия. Свободная энциклопедия.
Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.
Министерство образования и науки РФ Муниципальное общеобразовательное учреждение Леботёрская основная общеобразовательная школа Чаинский район Томская область РЕФЕРАТ по теме: «История создания отрицательных чисел» Выполнили: ученицы 6 класса Григорьевская Ксения, Захарова Татьяна Руководитель: Стасенко В.К., учитель математики 2010 г. Оглавление 1. Введение…………………………………..……………………………3 2. История создания отрицательных чисел ……………………………..4 3. Отрицательные числа в Китае ……………………………………… ..5 4. Отрицательные числа в Индии ………………………………………..6 5. Список литературы ……………………………………………………. 7 2 Вступление Наглядно представить себе дробь может каждый; для этого достаточно посмотреть на разрезанный арбуз, пирог или на огород, разделенный на грядки. Но представить себе число – 5 труднее. Ведь нельзя отмерить -5м ткани или отрезать –500г хлеба. Зачем же нужны такие странные числа с еще более странными правилами действий над ними? Дело в том, что существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться. Положительные и отрицательные числа как раз и служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что её изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным. «Если я стою на вершине горы, то я начинаю спуск с её вершины с высоты 2000м Я иду вниз, и высота, на которой я нахожусь, становится все меньше и меньше. Вот я спустилась с высоты 1000м, теперь я на высоте 500м, вот я уже на высоте 200м, и вот, наконец, я спустилась к самому моря. Я стою у кромки воды, и волны лижут подошвы моих ботинок. Значит, я нахожусь на высоте 0м над уровнем моря. Здесь я надеваю водолазный скафандр и, ступая по дну моря, продолжаю спускаться вниз. Я иду вниз, значит, высота, на которой я нахожусь, становится еще меньше, меньше нуля. А я знаю, что есть числа меньше нуля – это отрицательные числа! Следовательно, здесь, на дне моря, высота отрицательная. Сейчас я спустилась на 100м вниз от кромки воды, и могу сказать, что нахожусь на высоте -100м. А если бы я не пользовалась отрицательными числами, то мне пришлось бы сказать, что я нахожусь на глубине 100м.» Отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря. Так, вершина горы может соответствовать числу 2000м, а затонувшему кораблю соответствует число -2000м, но не как не наоборот. С отрицательными числами мы сталкиваемся каждый раз, говоря о температуре воздуха. Если на улице тепло, то температура воздуха выражается положительным числом, а если мороз, то отрицательным числом. Или когда говорят, что температура воздуха изменилась на -8°, это значит, она понизилась на 8°, а если изменилась на 8°, значит, повысилась на 8°. 3 Так при измерении времени относительно некоторого момента, принятого за начало отсчета, принято считать положительным время событий, происшедших после начала отсчета, и отрицательным – время событий, происшедших до начала отсчета. При измерении сил, действующих на пружину, принято считать положительными силы, растягивающие пружину, и отрицательными – силы, сжимающие пружину, и т. д. Таким образом, отрицательные числа наряду с положительными числами и с числом нуль служат для измерения величин, могущих изменяться в двух противоположных направлениях от некоторого значения, принятого за начало отсчета. Из истории возникновения отрицательных чисел Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей, которые были знакомы египтянам и вавилонянам много тысяч лет назад. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательные числа не использовали, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Первые же сведения об отрицательных числах относятся примерно ко II веку до н.э. Решение многих уравнений сводится к отрицательным корням. Например, в задаче: отец старше сына на 18 лет. Сейчас сыну 25 лет. Через сколько лет отец будет в 2 раза старше сына? Составив уравнение и решив его, получим, что корень равен -7. Значит, 7 лет назад отец был вдвое старше сына. Такие уравнения в древности просто не рассматривались, отрицательные числа не признавались, отрицательные корни уравнений считали ложными. Так во 2 веке до н.э. китайский учёный Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» приводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество. Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличие от положительных. В Древней Индии и Китае догадались вместо слов «долг в 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков «+» и «-», в древности не было ни для чисел, ни для действий. Греки тоже поначалу знаков не использовали, пока в III веке Диофант Александрийский не стал обозначать вычитание знаком. В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. 4 В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596-1650). Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую (1637 г.). Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине 18 века. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел. Только в начале 19 века отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения. Отрицательные числа с большим трудом завоевали себе место в математике. Отрицательные числа в древнем Китае Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бессмысленными. Китайские ученые столкнулись с отрицательными числами примерно во II веке до н.э. при решении уравнений. Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на ученых, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках, откуда известно, что китайцы умели только складывать отрицательные и положительные числа и не знали правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел. Положительные числа трактовали как "прибыль", «имущество» а отрицательные - как "долг", "убыток". 5 Отрицательные числа в древней Индии Индийские математики столкнулись с отрицательными числами при решении уравнений. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными, он сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами в таком виде: «Сумма двух имуществ есть имущество». (+х) + (+у) = +(х + у) «Сумма двух долгов есть долг». (-х) + (-у) = - (х + у) «Сумма имущества и долга равна их разности» (-х) + (+у) = - (х - у) или (-х) + (+у) = +(у - х) «Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом». 0 – (-х) = +х «Имущество, вычитаемое из нуля, становится долгом». 0 – (+х) = -х Индийские математики применяли к отрицательным числам все правила четырех действий, но без должного теоретического обоснования. Однако, несмотря на широкое использование отрицательных чисел при решении задач с помощью уравнений, в Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Индийский математик Бхаскара (XII в.) прямо писал: “Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел…” 6 Литература: 1. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин, За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5 – 6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989г. 2. Л.М. Фридман, Изучаем математику: Книга для учащихся 5 – 6 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995 г. 3. Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., - Томск: Издательство Томского университета, 1998г. 4. http://otvet.mail.ru/guestion/7639501/ 5. http://ru.wikipedia.org/wiki 7
Глава II. Отрицательные числа в других науках
§1. Отрицательные числа в физике…………………………………………………...5
1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа………………….6
1.2 С положительными и отрицательными числами по температурной шкале …7
§2. Отрицательные числа в географии
2.1 За положительными и отрицательными числами на горные вершины и в морские глубины……………………………………………………………………….8
2.2 Шкала глубин и высот в метрах…………………………………………………...9
2.3 Шкала высот в метрах……………………………………………………………..9
§3. Отрицательные числа в истории
3.1 Как в древности считали года? ……………………………………………….....10
§ 4. Отрицательные числа в биологии……………………………………………….11
Заключение…………………………………………………………………………….12
Приложение……………………………………………………………………………13
Список литературы………………...…………………………………………...........................14
Введение
«Твой ум без числа ничего не представляет». Это высказывание немецкого философа Н.Кузанского(1401 – 1464) показывает какую роль, играют любые числа в нашей жизни, поэтому тема «отрицательные числа» актуальна.
Мне поручили подготовить сообщение «История возникновения отрицательных чисел». Изучая литературу, я понял, что отрицательные числа возникли из практических нужд людей. С их появлением произошел большой толчок развития науки. В моем представлении было самое маленькое число 0, т.е. ничего, а оказывается, что есть еще числа меньше 0. Мне захотелось понять суть отрицательных чисел, для чего они нужны людям и я решил перелистать школьные учебники, выяснить применение отрицательных чисел на различных уроках.
Моя тема называется «Отрицательные числа на страницах школьных учебников».
Актуальность: любое число в жизни каждого человека играет важную роль
Цель работы: Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать применение отрицательных чисел на различных уроках.
Объектом исследования является число.
Методом исследования – чтение и анализ используемой литературы и наблюдения.
Выборка: Учебники физики, географии, биологии, истории.
Задачи:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Понять суть отрицательных чисел.
3. Исследовать применение отрицательных чисел в физике, географии, истории и биологии.
4. Сделать сообщение учащимся класса.
Глава 1. История возникновения отрицательных чисел.
Первые представления об отрицательных числах возникли еще до нашей эры. Так, во II в. до н.э. китайский ученый Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличии от положительных.
В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически пользовался отрицательными числами, рассматривая их как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые». В древности индийские ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. Если вы имеете 4000 рублей и покупаете товар на 1000 рублей, то у вас остается 4000 – 1000 = 3000 рублей. Но если вы имеете 4000 рублей и покупаете товар на 6000 рублей, то у вас образуется долг 2000 рублей. Поэтому, в этом случае считали, что совершается вычитание 4000 – 6000, результатом является число 2000 со знаком «минус», означающее «две тысячи долга». Таким образом, – 2000 это отрицательное число и в данном случае оно указывает на то, что у вас образовался долг 2000 рублей. Индийский математик Брахмагупта в VII в. сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами. В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или сокращенными словами как наименования в именованных числах. Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.
Более современный пример можно привести, используя действия с телефонным балансом. Если на счету вашего телефона нет денег, то вы можете пользоваться услугами связи в долг, тогда на вашем телефоне может образоваться отрицательный баланс. Например: -45 рублей (минус 45 рублей).
Введение отрицательных чисел было связано с необходимостью развития математики как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательных чисел возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. В индии еще в 6-11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Французского математика Р.Декарта(1596 – 1650), давшего геометрическое истолкование отрицательным числам как направленных отрезков. В 1637 году он ввел «координатную прямую».
Глава 2. Отрицательные числа в других науках.
§1 Отрицательные числа в физике
Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».
Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?
Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.
Например, высоту здания и расстояния от школы до дома можно измерить рулеткой (линейкой), массу тела – рычажными весами, температуру – термометром, скорость автомобиля – спидометром, объем банки – мензуркой, силу тока – амперметром или гальванометром, показатель преломления воды – рефрактометром, напряжение между электродами – вольтметром, продолжительность урока – часами, мощность ядерного взрыва – сейсмографом, электрический заряд шарика – электрометром или баллистическим гальванометром.
Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин,
а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения.
§1.1 Обычная расческа и положительные и отрицательные числа
Выполним опыт.
Положите на стол несколько маленьких кусочков тонкой бумаги. Возьмите чистую сухую пластмассовую расческу и 2-3 раза проведите ею по своим волосам. Расчесывая волосы, вы должны услышать легкое потрескивание. Затем медленно поднесите расческу к клочкам бумаги. Вы увидите, что они сначала притягиваются к расческе, а потом отталкиваются от нее.
Теперь сверните из тонкой бумаги (лучше всего папиросной) две трубочки длиной 2-3см. и диаметром 0,5см. Подвесьте их рядом (так, чтобы они слегка касались друг друга) на шелковых нитках. Расчесав волосы, прикоснитесь расческой к бумажным трубочкам – они сразу разойдутся в стороны и останутся в таком положении (то есть нитки будут отклонены). Мы видим, что трубочки отталкиваются друг от друга.
Если у вас есть стеклянная палочка (или трубочка, или пробирка) и кусочек шелковой ткани, то опыты можно продолжить.
Потрите палочку о шелк и поднесите к обрывкам бумаги – они начнут «прыгать» на палочку точно так же, как и на расческу, и затем соскальзывать с нее. Струйка воды тоже отклоняется стеклянной палочкой, а бумажные трубочки, к которым вы палочкой прикоснулись, отталкиваются друг от друга.
А теперь возьмите одну палочку, к которой вы прикасались расческой, и вторую трубочку, - и поднесите друг к другу. Вы увидите, что они притягиваются друг к другу. Итак, в этих опытах проявляются силы притяжения и силы отталкивания. В опытах мы видели, что заряженные предметы (физики говорят – заряженные тела) могут притягиваться друг к другу, а могут и отталкиваться друг от друга. Это объясняется тем, что существует два вида, два сорта электрических зарядов, причем заряды одного и того же вида отталкиваются друг от друга, а заряды разных видов притягиваются.
§1.2 С положительными и отрицательными числами по температурной шкале
Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.
Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами (шкала 2).
Температура льда выражается отрицательным числом.
холодно тепло
(-) (+)
§2. Отрицательные числа в географии
2.1 Положительные и отрицательные числа в горных вершинах и в морских глубинах
Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет, например, такая:
2.2 Шкала глубин и высот в метрах
Глубже 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 выше
На этой шкале мы видим только положительные числа и нуль. За нуль принимается высота (и глубина тоже), на которой находится поверхность воды в Мировом океане. Использование в этой шкале только неотрицательных чисел неудобно для математика или физика. У физика получается такая шкала.
2.3 Шкала высот в метрах
Меньше -5000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 больше
Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов: положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.
В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.
В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).
§3. Отрицательные числа в истории
3.1 Как в древности считали года?
В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.
Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах.В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет. Рассмотрим «линию времени» на рисунке.
«Линия времени»
До нашей эры Наша эра
776 55 1380 1637 2013
Начало Строительство Куликовская битва
Античных театра Помпея P.Декарт ввел 100 лет со дня
Олимпийских в Риме координатную рождения
игр в Греции прямую поэта
С. В. Михалкова
§4. Отрицательные числа в биологии
Отрицательные числа в биологии выражают патологию глаза. Близорукость (миопия) проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.
Заключение
Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Выполняя данную работу, я значительно расширил знания по математике. Подготовил реферат и презентацию по теме «Отрицательные числа в школьных учебниках», сделал сообщение в своем классе.
Работая с источниками, я выяснил, что положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+), а если она убывает, то изменение называют отрицательным (–).
Узнал, что больше всего отрицательные числа встречаются в точных науках, в математике и физике.
В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда: положительно заряженные атомы - протоны, отрицательно заряженные атомы – электроны.
В географии высота гор измеряется с помощью положительных чисел, а глубина воды с помощью отрицательных чисел (ниже уровня моря, выше уровня моря).
В биологии отрицательные числа в биологии выражают патологию зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы.
В истории отрицательное число можно заменить словами, например: 145 лет до н.э.
Отрицательные числа появились значительно позже положительных. Отрицательными числами обычно обозначали долг. Наверно, поэтому человек воспринимает положительное – как «нечто хорошее», а отрицательное – как «нечто плохое».
В своей работе в Приложении я собрал правила действий с отрицательными и положительными числами в стихотворной форме и предложил формулу для запоминания знака при выполнении действий.
Приложение
СТИХОТВОРЕНИЕ
«Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками»
Если уж захочется вам сложить
Числа отрицательные, нечего тужить:
Надо сумму модулей быстренько узнать,
К ней потом знак «минус» взять да приписать.
Если числа с разными знаками дадут,
Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут.
Больший модуль быстро очень выбираем.
Из него мы меньший вычитаем.
Самое же главное – знак не позабыть!
- Вы какой поставите? – мы хотим спросить
- Вам секрет откроем, проще дела нет,
Знак, где модуль больше, запиши в ответ.
Правила сложения положительных и отрицательных чисел
Минус с минусом сложить,
Можно минус получить.
Если сложишь минус, плюс,
То получится конфуз?!
Знак числа ты выбирай
Что сильнее, не зевай!
Модули их отними,
Да все числа помири!
- Правила умножения можно истолковать и таким образом:
«Друг моего друга - мой друг»: + ∙ + = + .
«Враг моего врага - мой друг»: ─ ∙ ─ = +.
«Друг моего врага - мой враг»: + ∙ ─ = ─.
«Враг моего друга – мой враг»: ─ ∙ + = ─.
Знак умножения есть точка, в ней три знака:
+
+
Прикрой из них два, третий даст ответ.
Например.
Как определить знак произведения 2∙(-3)?
Закроем руками знаки «плюс» и «минус». Остаётся знак «минус»
Литература
Большая научная энциклопедия, 2005.
Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001.
Выговская В.В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс» - М.:ВАКО, 2008г.
Газета «Математика» №4, 2010г.
Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г
Гусев В.А., А.Г.Мордкович «Справочные материалы», «Просвещение», 1986г.
Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.
Малыгин К.А. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе», Москва, «Просвещение», 1982г
Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г
Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994
